Algèbre linéaire

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Algèbre linéaire
Message de mathfaitdesmath posté le 28-03-2024 à 16:10:53 (S | E | F)
Bonjour,

J'ai quelques questions en algèbre linéaire.

- Quel est le rang de l'application identité ? (question un peu bête désolée)
- Si on a E ev et F ssev de E, pourquoi ne peut-on pas en général construire une base de F en choisissant des vecteurs d'une base fixée de E ? (pourtant, on peut bien compléter une base de F en une base de E d'après le théorème de la base incomplète)
- Comment visualiser des hyperplans graphiquement ? j'ai du mal à me le représenter. Par exemple, comment visualiser que la dimension de l'intersection de p hyperplans dans E avec dim(E)=n est >= n-p

Merci beaucoup

Réponse : Algèbre linéaire de tiruxa, postée le 28-03-2024 à 21:59:31 (S | E)
Bonjour

Pour la première question le rang de f est la dimension de Imf, si f est l'identité de E, on a Imf=E donc le rang de f est n.

Pour la deuxième parce qu'il n' y a aucune raison pour que les vecteur de la base de E soient dans F.
Si on se place dans R^3 avec comme base (i,j,k) où i=(1,0,0), j=(0,1,0)et k=(0,0,1).
Prenons V un plan engendré par u=i+j et v=j+k
aucun des vecteurs i, j ou k n'appartient à V donc on ne peut pas s'en servir pour former une autre base de V.

Inversement bien sûr les vecteurs de V sont dans E et là cela ne pose pas de problème.

Pour la 3eme, graphiquement à part en dimension 3 ou inférieure on ne peut pas représenter cela simplement, il faut mieux rester dans l'abstrait et le calcul, les théorèmes etc...

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